sebaran penyampelan dan sebaran rerata

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Populasi ialah semua nilai baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif, daripada karakteristik tertentu mengenai sekolompok objek yang lengkap dan jelas.

Populasi dalam setiap penelitian harus disebutkan secara tersurat yaitu yang berkenaan dengan besarnya anggota populasi serta wilayah penelitian yang disebutkan secara tersurat yaitu yang berkenaan dengan besarnya anggota populasi serta wilayah penelitian yang dicakup. Tujuan diadakannya populasi ialah agar kita dapat menentukan bwsarnya anggota sampel yang diambil dari anggota populasi dan membatasi berlakunya daerah generalisasi.

Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total atau sensus. Penggunaan ini berlaku jika anggota populasi relatif kecil. Untuk anggota populasi yang relatif besar, maka diperlukan mengambil sebagian anggota populasi yang dijadikan sampel. Pengambilan anggota sampel yang merupakan sebagian dari anggota populasi tadi harus dilakukan dengan teknik tertentu yang disebut teknik sampling. Demikian pula untuk menentukan banyaknya anggota sampel haruslah menggunakan rumus,grafik atau tabel tertentu.

Sampel yang berukuran n di ambil secara acak dari sebuah populasi dipelajari dan dianalisis untuk digunakan sebagai acuan da rujukan dalam menjelaskan populasi. Jika ukuran populasi tak hingga, maka tak hinggah pula banyaknya sampel berukuran n yang bebeda yang mungkin terjadi. Walaupun banyak sampel yang berukuran n dapat diambil dari sebuah populasi yang berukuran N > n.

B.     Rumusan Masalah

1.      Bagaimana teknik mengambil sampel dalam populasi?

2.      Bagaimana teknik penyebaran rerata pada data?

C.    Tujuan Masalah

1.    Untuk mengetahui teknik pengambilan sampel dalam populasi.

2.    Untuk mengetahui teknik penyebaran rerata pada data.

BAB II

POPULASI DAN SAMPEL

A.    Populasi

Populasi ialah semua nilai baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif, daripada karakteristik tertentu mengenai sekolompok objek yang lengkap dan jelas.

Populasi dalam setiap penelitian harus disebutkan secara tersurat yaitu yang berkenaan dengan besarnya anggota populasi serta wilayah penelitian yang disebutkan secara tersurat yaitu yang berkenaan dengan besarnya anggota populasi serta wilayah penelitian yang dicakup. Tujuan diadakannya populasi ialah agar kita dapat menentukan bwsarnya anggota sampel yang diambil dari anggota populasi dan membatasi berlakunya daerah generalisasi.

Ditinjau dari banyaknya anggota populasi, maka populasi terdiri atas :

·         Populasi terbatas (terhingga)

·         Populasi tak terbatas (tak terhingga)

Namun dalam kenyataannya populasi terhingga selalu menjadi populasi yang tak terhingga.

Ditinjau dari sudut sifatnya, maka populasi dapat bersifat :

·         Homogen ,dan

·         Heterogen

Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total atau sensus. Penggunaan ini berlaku jika anggota populasi relatif kecil. Untuk anggota populasi yang relatif besar, maka diperlukan mengambil sebagian anggota populasi yang dijadikan sampel. Pengambilan anggota sampel yang merupakan sebagian dari anggota populasi tadi harus dilakukan dengan teknik tertentu yang disebut teknik sampling. Demikian pula untuk menentukan banyaknya anggota sampel haruslah menggunakan rumus,grafik atau tabel tertentu.

B.     Teknik Pengambilan Contoh (Teknik Sampling)

Dalam statistika terbagi atas dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif (inferensial ). Statistika induktif (inferensial ) ialah suatu proses yang berusaha untuk menarik kesimpulan tentang keadaan populasi berdasarkan sampel yang diambil,dengan menggunakan metode tata cara tertentu.

Sampel (contoh) ialah sebagian anggota populasi yang diambil dengan menggunakan teknik tertentu yang disebut dengan teknik sampling.teknik sampling berguna agar :

1)      Mereduksi anggota populasi menjadi anggota sampel yang mewakili populasinya (refresentatif),sehingga kesimpulan terhadap populasi dapat dipertanggungjawabkan.

2)      Lebih teliti menghitung yang sedikit daripada yang banyak

3)      Menghemat waktu,tenaga,biaya,menghemat benda coba yang merusak.

Beberapa kriteria yang perlu diperhatikan dalam mengambil sampel adalah sebagai berikut :

1.    Tentukan dulu daerah generalisasinya. Banyak penelitian menurun mutunya karena generalisasi kesimpulannya terlalu luas.penyebabnya ialah karena peneliti ingin agar hasil penelitiannya berlaku secara meluas dan menganggap sampel yang dipilihnya sudah mewakili populasinya.

2.    Berilah batas – batas yang tegas tentang sifat – sifat populasi. Populasi tidak harus manusia. Populasi daoat pula berupa benda – benda lainnya. Semua benda – benda yang akan dijadikan populasi harus ditegaskan batas – batas karakteristiknya,sehungga dapat menghindari kekaburan dan kebingungan.

3.    Tentukan sumber – sumber informasi tentang populasi.ada beberapa sumber informasi yang dapat memberi petunjuk tentang karakteristik suatu populasi.umpamanya didapat dari dokumen – dokumen.

4.    Pilihlah teknik samplingdan dihitunglah besar anggota sampel yang sesuai dengan tujuan penelitiannya

5.    Rumusan persoalan yang akan diteliti

6.    Tentukan atau dari keterangan mengenai populasi yang akan diteliti

7.    Defenisikan unit – unit,istilah yang diperlukan

8.    Tentukan unit sampling yang diperlukan.

9.    Tentukan skala pengukuran yang akan dipergunakan

10.     Cari keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan yang akan dibahas

11.     Tentukan ukuran sampel yang akan dianalisis

12.     Tentukan prosedur sampling apa yang akan dipergunakan

13.     Tentukan teknik pengumpulan data yang akan dipergunakan

14.     Tentukan metode analisi apa yang akan digunakan

15.     Sediakan dan prasarana yang diperlukan untuk penelitian

C.    Cara Melakukan Teknik Sampling

Teknik pengambilan contoh dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :

1.      Sampling random ( probability sampling ), yaitu pengambilan contoh secara acak ( random ) yang dilakukan dengan cara undian, ordinal atau table bilangan random atau dengan computer.

2.      Sampling nonrandom ( nonprobality sampling) atau disebut juga sebagai incidental sampling,yaitu pengambilan contoh tidak secara acak

1.      Teknik sampling random

Teknik sampling random terdiri atas lima macam yaitu :

a.      Sampling random sederhana (simple random sampling )

Ciri utama sampling ini ialah setiap unsure dari keseluruhan populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Caranya ialah dengan menggunakan undian,ordinal,table bilangan random,atau computer. Keuntungannya ialah anggota sampel mudah dan cepatdiperoleh. Kelemahannya ialah kadang – kadang tidak mendapatkan data yang lengkap dari populasinya.

b.      Teknik sampling bertingkat ( stratified sampling )

Teknik sampling ini disebut juga dengan istilah teknik sampling berlapis, berjenjang,dan petala. Teknik ini digunakan apabila populasinya heterogen atau terdiri atas kelompok – kelompok yang bertingkat. Penentuan bertingkat berdasarkan karakteristik tetentu. Misalnya : menurut usia,pendidikan,golongan / pangkat,dan sebagainya. Teknik ini akan semakin baik jika dilengkapi dengan penggunaan proposional,sehingga setiap tingkat diwakili oleh jumlah yang sebanding. Stratified random sampling yang dilengkapi dengan proposional ini disebut proportional stratified random sampling. Keuntungan menggunakan cara ini ialah anggota sampel yang diambil lebih representative. Kelemahannya ialah lebih banyak memerlukan usaha pengenalan terhadap karakteristik populasinya.

c.       Teknik sampling kluster (cluster sampling )

Teknik sampling ini disebut juga sebagai teknik samplingdaerah,conditional sampling, (restricted sampling ). Teknik ini digunakan apabila populasi terbesar dalam beberapa daerah,propinsi,kabupaten,kecamatan, dan seterusnya. Pada peta daerah diberi petak - petak dan setiap petak diberi nomor. Nomor - nomor itu kemudian ditarik secara acak untuk dijadikan anggota sampelnya. Keuntungan menggunakan teknik ini ialah:

-          Dapat mengambil populasi besar yang terbesar di berbagai daerah,dan

-          Pelaksanaannya lebih mudah dan murah dibandingkan teknik lainnya.

Sedangkan kelemahannya  adalah :

-          Jumlah individu dalam setiap pilihan tidak sama, karena itu teknik ini tidaklah sebaik teknik lainnya,

-          Ada kemungkinan penduduk satu daerah berpindah ke daerah lain tanpa sepengetahuan peneliti, sehingga penduduk tersebut mungkin menjadi anggota rangkap sampel peneliti.

-                

           

Gambar : Teknik sampling dan penentuan besar sampel

d.      Teknik sampling Sistematis ( Systematical Sampling )

Teknik ini sebenarnya adalah teknik random sampling sederhana yang dilakukan secara ordinal. Artinya anggota sampel dipilih berdasarkan urutan tertentu. Misalnya setiap kelipatan 5 atau 10 dari daftar pegawai di suatu kantor. Keuntungan teknik ini ialah lebih cepat dan mudah. Sedangkan kelemahannya ialah kadang - kadang kurang mewakili populasinya.

e.       Teknik sampling proporsional ( proportional sampling )

Teknik sampling proporsional yaitu sampel yang dihitung berdasarkan perbandingan. Misalnya populasi untuk A = 20, B = 50, C= 30. Jadi, jumlah anggota populasi = 100. Sedangkan besar anggota sampel = 80 sehingga besar masing - masing sampel untuk A, B, dan C dapat dihitung sebagai berikut:

                                    +

Jumlah              = 80

2.      Teknik sampling Nonrandom

  Teknik sampling nonrandom terdiri atas tiga macam dengan uraian sebagai berikut ;

a.  Teknik sampling kebetulan (Accidental sampling )

Teknik sampling kebetulan dilakukan apabila pemilihan anggota sampelnya dilakukan terhadap benda atau orang yang kebetulan ada atau dijumpai. Misalnya kita ingi meneliti pendapat masyarakat tentang kenaikan harga atau keluarga berencana, maka pertanyaan diajukan kepada mereka yang kebetulan dijumpai di pasar atau di tempat - tempat lainnya.keuntungan menggunakan tekni ini ialah murah, cepat dan mudah. Sedangkan kelemahannya ialah kurang representatif.

b. Teknik Sampling Bertujuan ( Porpusive sampling )

Teknik ini digunakan apabila anggota sampel yang dipilih secara khusus berdasarkan tujuan penelitiannya. Sebagai contoh : untuk meneliti tentang peraturan lalu lintas, maka hanya mereka yang memiliki SIM atau yang tidak memiliki SIM saja yang dijadikan anggota sampel, keuntungan menggunakan teknik ini ialah murah,cepat dan mudah,serta relevan dengan tujuan penelitiannya. Sedangkan kerugiannya ialah tidak respresentatif untuk mengambil kesimpulan secara umum ( generalisasi ).

c.  Teknik sampling Kuota (Quota sampling )

Teknik ini digunakan apabila anggota sampel pada suatu tingkat dipilih dengan jumlah tertentu (kuota ) dengan cirri - cirri tertentu. Teknik sampling kuota sering dikacaukan dengan teknik sampling bertujuan. Keuntungan dan kelemahan menggunakan teknik ini ialah seperti halnya dengan teknik sampling bertujuan.

D.    Penentuan Besarnya Anggota Sampel (Sampel Size )

Besar anggota sampel harus dihitung berdasarkan teknik - teknik tertentu agar kesimpulan yang berlaku untuk populasi dapat dipertanggungjawabkan. Disamping itu harus pula memenuhi teknik sampling seperti yang diuraikan tadi diatas.

Anggota sampel yang secara ideal mewakili populasinya (representative) seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini.

                                                                   

Besarnya Anggota sampel yang dipilih berdasarkan pertimbangan - pertimbangan :

a.    Praktis

b.    Ketepatan

c.    Non respon

d.   Analisis data

1.    Pertimbangan praktis

Pertimbangan praktis menyangkut :

a.    Unsure - unsure biaya, waktu,tenaga dan kemampuan;

b.    Unsure eksploratori (exploratory ) atau penemuan atau penjajakan, maka anggota sampel tidak perlu banyak ataukah untuk eksplanatori atau menerangkan, maka anggota sampel harus lebih banyak.

c.    Jika kita memilih anggota sampel yang banyak, maka tingkat prediksi relative tepat,kesalahan mentabulasi dan menghitung besar,reliabilitas besar, dan power meningkat,demikian pula sebaliknya.

2.    Ketepatan

Semakin kecil kita memilih taraf signifikansi atau alpha (  ,semakin banyak anggota sampelnya. Dengan demikian semakin tepat atau teliti ramalan kita.

3.    Pertimbanga Nonrespons

Pertimbangan nonrespons ialah perkiraan jumlah anggota sampel yang dapat dijadukan responden setelah seluruh anggota sampel dikurangi dengan jumlah anggota sampel yang dijadikan kelompok uji coba instrument penelitian. Anggota sampel yang sudah dijadikan kelompok uji coba sebaiknya tidak dipakai sebagai responden untuk mendapatkan data yang sebenarnya. Selain pertimbangan di atas, juga perlu dipertimbangkan berapa responden yang bersedia mengembalikan angket atau dapat diwawancarai serta diobservasi.

E.       Teknik Menghitung Besarnya Anggota Sampel

Teknik untuk menghitung besarnya anggota sampel secara umum dapat dilakukan         dengan dua cara yaitu :

1.      Proporsi

Perhitungan besarnya anggota sampel dengan menggunakan cara proporsi dapat menggunakan sejumlah rumus - rumus, namun pada kesempatan ini dikenalkan tiga buah rumus untuk menghitung besarnya anggota sampel. Rumus - rumus dan contoh penggunaannya seperti berikut :

§ 

Dimana : 

n  = jumlah anggota sampel minimal

p = proposi kelompok pertama

q = proporsi kelompok kedua = (1-p)

 = taraf signifikansi

= nilai z table, dan

jika  = 0,01, maka rumus tadi akan menjadi

dan jika  = 0,05, maka rumus tadi akan menjadi ;

Contoh soal

Suatu daerahdiketahui anggota populasi penduduknya yang berstatus sebagai PNS 400.000 orang. Di antaranya 100.000 orang belum menjalankan KB secara efektif. Berapa besar anggota sampel yang perlu diteliti dalam rangka mengungkapkan partisipasi terhadap program KB?

Jawab:

Misalkan digunakan  = 0,05 , maka didapatkan :

P =  

   = 0,25

n = 0,25 (1-0,25)

   = 294 ( dibulatkan )

Karena manusia bukan dalam bilangan pecahan,maka dibulatkan menjadi 294 orang.

§ 

Dimana :

            S = banyaknya anggota sampel

            N = banyaknya anggota populasi

            P = proporsi dalam populasi

            d = derajat ketelitian = 1,96

            harga table chi -kuadrat untuk tertentu.

Jika rumus tersebut di atas, digunakan untuk populasi tertentu yang sudah diketahui jumlah anggotanya dan dengan =0,05, maka Krejcie dan Morgan telah memberikan tabelnya yang dikenal dengan sebutan table krejcie dan morgan.

§  SE =

Dimana :

SE = Standar Estimasi

P   = Proporsi

N  = jumlah anggotsa populasi

n  = jumlah anggota sampel

penggunaan rumus di atas,telah disederhanakan oleh Harry King dengan nomogramnya, yang terkenal dengan sebutan nomogram Harry King.

2.      Ketelitian Estimasi

a)      Ketelitian Estimasi

N =

Dimana ;

                        n = banyaknya sampel

                        s = standar deviasi ( diketahui )

                         = standar error

b)      Rumus dasar confidensi interval

w =

   Dimana :

   w         = interval estimasi

       = standar skor untuk tertentu

  = simpangan baku populasi ( diketahui )

besarnya anggota sampel atau banyaknya sampel

Contoh soal

Diketahui

Berapa banyaknya sampel (n) ?

Jawab :

Sebenarnya tidaka ada aturan yang tegas mengenai berapa besarnya anggota sampel yang disyaratkan suatu penelitian. Demikian pula batasan apa batasan bahwa sampel itu besar atau kecil. Yang jelas ialah jika sampelnya besar,maka biaya,tenaga,waktu yang disediakan harus besar pula. Demikian sebaliknya. Meskipun demikian,mutu suatu penelitian tidaklah ditentukan oleh besarnya anggota samel yang digunakan,melainkan oleh kuatnya dasar - dasar teori yang mendukung teknik pengambilan anggota sampel tersebut. Sesungguhnya tidak anggota sampel yang 100% representative,kecuali anggota sampelnya sama dengan anggota populasinya (total sampling).

F.       Kesalahan - Kesalahan Umum dalam Menentukan Besar Anggota Sampel

Kesalahan - kesalahan umum yang sering dijumpai dalam menentukan besarnya anggota sampel adalah sebagai berikut :

1.    Peneliti gagal dalam menetapkan jumlah anggota populasi yang dapat dipercaya.

2.      Peneliti menggunakan anggota sampel yang terlalu kecil untuk setiap subgrupnya,sehingga analisis statistika parameter tidak berlaku, pada populasi sebenarnya cukup besar.

3.      Peneliti tidak menggunakan teknik sampling startified yang disyaratkan untuk menetukan anggota sampel subgrupnya.

4.      Peneliti mengubah prosedur tenik sampling

5.      Peneliti mengubah rumus untuk menghitung besarnya anggota sampel

6.      Peneliti memilih anggota sampel yang tidak sesuai dengan tujuan penelitiaannya

7.      Peneliti mengurangi anggota sampel yang telah ditentukan oleh perhitungannya

8.      Peneliti memilih grup eksperimen dan grup kontrol dari populasi yang berbeda

9.      Peneliti yang memakain grup sukarela,lupa atau sengajatidak membedakannya dengan grup wajib,akibatnya peneliti gagal dalam menginterpretasikan hasil penelitiannya

10.  Peneliti tidak memberikan alasan – alasan mengapa rumus dan teknik sampling tertentu yang ia gunakan di dalam penelitiannya itu

11.  Kekeliruan sampling biasanya terjadi karena pemeriksaan yang kurang teliti dan lengkap terhadap populasi yang hanya dilakukan terhadap sampel serta penelitian dilakukan dengan menggunakan prosedur yang sama

12.  Kekeliruan nonsampling ini bisa terjadi dalam setiap penelitian, apakah itu berdasarkan sampling atau berdasarkan sensus, penyebabnya adalah :

a.       Populasi tidak didefinisikann sebagaimana mestinya

b.      Penyimpangan populasi tidak dipelajari

c.       Kuesioner tidak dirancang sesuai dengan keperluan

d.      Rumusan dan istilah tidak dipergunakan sebagaimana mestinya

e.       Peneliti kurang memehami isi dari kuesioner sehingga jawaban responden kurang sesuai dengan keinginan

f.       Responden tidak memberikan jawaban yang objektif atau menolak untuk memberikan jawaban.

BAB III

DISTRIBUSI PENYAMPELAN

Sampel yang berukuran n di ambil secara acak dari sebuah populasi dipelajari dan dianalisis untuk digunakan sebagai acuan da rujukan dalam menjelaskan populasi. Jika ukuran populasi tak hingga, maka tak hinggah pula banyaknya sampel berukuran  n yang bebeda yang mungkin terjadi. Walaupun banyak sampel yang berukuran n dapat diambil dari sebuah populasi yang berukuran N > n.

A.    Distribusi Rata-rata

Kita akan membicarakan distribusi sampel yang diambil dari sebuah populasi, sehingga topik khusus tentang distribusi penyampelan sebuah rata-rata akan mengawali bagian ini. Selanjutnya kita akan membicarakan distribusi dua rata-rata dalam hal kita mengambil dua sampel dari sebuah populasi atau masing-masing dari sebuah populasi yang berbeda.

1.      Distribusi Sebuah Rata-rata

Jika kita mengmbil sebuah sampel acak berukuran n dari sebuah populasi yang berukuran N, maka terdapat  banyknya sampel berbeda yang mungkin terjadi. Misalnya ukuran populasi N = 10 dan ukuran sampel n = 3, terdapat  = 120 sampel bebeda yang mungkin. Untuk semua sampel ini, masing-masing memiliki rata-rata, dan setiap nilai rata-rata itu dapat dinggap sebagai data baru. Distribusi rata-rata ini memiliki rata-rata dan simpangan baku dan diberi simbol berturut-turut  dan .

Misalkan parameter populasi untuk rata-rata adalah  dan simpangan bakunya , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa

 dan

Untuk N cukup besar dibandingkan  dengan n(ukuran sampel tidak melebihi 5% ukuran populasi, yaitu n/N  5%) atau populasi memiliki ukuran tak hingga, kita dapat gunakan rumus

 dan

Perhatikan bahwa untuk N cukup besar dibandingkan dengan n, hasil bagi   mendekati satu, sehingga rumus pendekatan ini memudahkan perhitungan dan memberikan  hasil  yang tidak berbeda. Nilai  disebut Simpangan baku rata-rata dan merupakan ukuran variasi rata-rata yang diharapkan dari sampel ke sampel.

Contoh 1.1

Misalkan sebuah populasi berukuran N = 5 terdiri dari data 1, 2, 3 ,4 dan 5. Sampel acak berukuran n = 2akan diambil.

a.       Berapa banyak sampel berbeda yang mungkin terambil?

b.      Tunjukkn sampel-sampel tersebut dan hitung rata-ratanya masing-masing!

c.       Buatlah distribusi  penympelan rata-rata  tersebut dan tunjukkan bahwa rumus

 dan  berlaku!

Jawaban :

a.       Banyak sampel yang bisa terjadi adalah  = 10

b.      Sampel-sampel yang bisa terjadi dapat ditunjukkan sabagai berikut

Tabel 1.1 Sampa-sampel Berukuran dua dan Nilai Rata-ratanya

Sampel	(1,2)   (1,3)   (1,4)   (1,5)   (2,3)   (2,4)   (2,5)   (3,4)   (3,5)   (3,6)
Rata-rata	1,5      2,0     2,5     3,0      2,5      3,0      3,5      3,5    4,0      4,5

c.  Distribusi penyampelan rata-rata  dapat dibuat seperti pada tabel 1.1 . kalau dari distribusi peluang ini dihitung nilai harapan dan variansinya, diperoleh

H(

V( , atau (

Tabel 1.2 Distribusi Peluang Rata-rata

	Frekuensi	P(
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5	1 1 2 2 2 1 1	0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1

Variansi itu dalam konsep peluang, sama dengan menghitung variansi dengan rumus yang menggunakan pembagi 10(n), bukan 9(n-1). Ingat rumus variansi .

Jika kita hitung rata-rata dan simpangan baku dari populasi 1,2,3,4, dan 5, diperoleh  dan . Apabila sepuluh nilai rata-rata tersebut dihitung nilai rata-rata dan simpangan bakunya diperoleh  dan rumus ini menggunkan pembagi 9).

Sedikit yang berbeda dengan  akibat pembulatan.

2.      Teorema Limit Pusat

Teorema limit pusat yang memberikan dasar pendekatan dalam berbagai teori dan aplikasi statistiak dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Jika sebuah populasi mempunyai rata-rata dan simpangan baku  yang besarnya terhingga, maka untuk  ukuran sampel acak n mendekati tak hingga, distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku  ”

Teorema ini tentunya berlaku untuk populasi yang berukuran tak hingga. Namun demikian, kaum praktisi menggunakan teorema ini dengan menggati  pernyataan “n mendekati tak hingga” menjadi “n cukup besar”. Pengertian n cukup besar dalam praktek digunakan . Dalam hal ini, ukuran populasipun dapat terhingga asalkan cukup lebih besar, yang tentunya jauh lebih besar dari 30.

            Perhatikan bahwa pendekatan ini berlaku untuk sebarang distribusi X yang mempunyai simpangan baku terhingga. Pendekatan ini  bisanya digunakan untuk , dan tentunya pendekatan akan lebih baik untuk ukuran sampel yanglebih besar. Namun perlu diingat bahwa kalau popuasi berdistribusi normal, maka rata-rata sampel akan tetap dapat menggunakan teori normal walaupun ukuran sampel kecil.

            Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu dibakukan agar tabel distribusi normal baku yang sudah ada dapat digunakan. Pembakuan ini menggunakan rumus :

            Apabila dari populasi diketahui  variansinya dan perbedaan antara rata-rata dari sampel ke sampel diharapakan tidak lebih dari sebuah nilai d yang ditentukan, maka berlaku hubungan

Sehingga ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata-rata dapat ditentukan.

Contoh 1.2

Skor mahasiswa dalam mata kuliah statistika matematika II mempunyai rata-rata 85 dengan simpangan baku7,3.

1. Sebuah sampel acak berukuran n = 35 diambil dari populasi skor mahasiswa tersebut. Berapa peluang rata-rata skor ke-35  mahasiswa tersebut:

a.       Terletak antara 83 dan 90?

b.      Paling sedikit 86?

2. Jika nilai rata-rata dari sampel yang satu dengan sampel lainnya dari populasi tersebut , perbedaannya diharapkan tidak lebih dari1,5. Tentukan ukuran sampel minimal  yang harus diambil!

Jawaban:

A.    Karena ukuran populasi tidak diberitahukan, kita dapat menganggap cukup besar untuk berlakunya  teori distribusi normal. Ukuran sampel n = 35 cukup besar sehingga teorema limit  pusat dapat digunakan. Dengan demikian, rata-rata  untuk skor staistika matematika  mahasiswa mendekati distribusi normal dengan rata-rata  dan simpangan baku

a.       Untuk diperoleh  dan untuk diperoleh   Dengan demikian, kita merujuk ke tabel distribusi normal baku dan mendapatkan P Jadi, peluang rata-rata skor statistika mahasiswa antara 83 dan 90 adalah 0,9484.

b.      Rata-rata skor 86 memberika nilai dan sehingga Dengan demikian, peluang rata-rata skor mahasiswa paling sedikit 86 adalah 0,2090.

Kita sudah menganggap ukuran populasi cukup besar, supaya nilai rata-rata dari satu sampel ke sampel lainnya tidak lebih dari d = 1,5, ukuran sampel minimal n yang harus diambil memenuhi

 Jadi, atau , sehingga ukuran sampel minimal yang harus diambil adalah n = 24.

B.     Distribusi Selisih Dua Rata-rata

Misalkan kita mempunyai dua populasi masing-masing berukuran  dan . Populasi kesatu mempunyai rata-rata dan simpangan baku sedangkan populasi kedua  mempunyai rata-rata dan simpangan baku  Dari setiap populasi secara bebas  dimbil sampel acak berukuran  dari populasi kesatu dan berukuran dari populasi kedua. Untuk membedakan, populasi kesatu Dimisalkan mempunyai peubah X dan populasi kedua mempunyai peubah Y. Nilai rata-rata dari masing-masing sampel dihitung. Kumpulan rata-rata sampel yang dapat ditulis:  dan dengan k = banyaknya sampel yang dapat diambil dari populasi kesatu, dan r = banyak sampel yang dapat diambil dari populasi kedua.

    Sekarang, semua seliih antara rata-rata dari sampel-sampel dalam kumpulan kesatu dan rata-rata darisampel-sampel dalam kumpulan kedua dapat dinyatakan dengan  dengan i = 1, 2,..., r. Kumpulan selisih rata-rata sampel demikian akan membentuk distribusi  selisih rata-rata. Dari kumpulan ini, kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi simbol  dan menghitung simpangan bakunya,diberi simbol Untuk dan yang cukup besar dan sampel-sampel acak diambil secara bebas satu sama lain, di dapat hubungan:

            Selanjutnya, untuk ukuran sampel cukup besar

 Maka selisih rata-rata  -  akan mendekati  distribusi normal dengan rata-rata  , dan  simpangan baku  Untuk memuat  distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku digunakan transformasi

Perlu diingatkan lagi bahwa alau populasi berdistribusi normal, peubah acak   - juga berditribusi normal walaupun sampel kecil.

Contoh 1.3

Diketahui bahwa rata – rata skor statistika untuk mahasiswa laki – laki 63 dengan simpangan baku 4,2 dan rata – rata skor statistika untuk mahasiswa perempuan 52 dengan simpangan baku 3,9. Misalakan  -   masing – masing menyatakan rata – rata sampel skor statistika mahasiswa untuk laki – laki dan perempuan, dengan ukuran sampel yang sama 120. Tentukan peluang yang menyatakan bahwa perbedaan rata – rata skor statistika kedua kelompok mahasiswa tersebut paling sedikit 10!

Jawaban :

Diketahui bahwa dan  menurut teori,  -  berdistribusi normal dengan rata – rata  dan simpangan baku baku   = 0,5232. Nilai  dari table distribusi normal baku diperoleh P  jadi, peluang untuk mendapatkan selisih rata – rata skor paling sedikit 10 adalah 0,9719.

BAB IV

PENUTUP

A.      Kesimpulan

1.      Populasi ialah semua nilai baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif, daripada karakteristik tertentu mengenai sekolompok objek yang lengkap dan jelas.

2.      Teknik untuk menghitung besarnya anggota sampel secara umum dapat dilakukan         dengan dua cara yaitu :

a)      Proporsi

Perhitungan besarnya anggota sampel dengan menggunakan cara proporsi dapat menggunakan sejumlah rumus - rumus, namun pada kesempatan ini dikenalkan tiga buah rumus untuk menghitung besarnya anggota sampel. Rumus - rumus dan contoh penggunaannya seperti berikut :

b)     Ketelitian Estimasi, dengan formula:

N =

3.      Misalkan parameter populasi untuk rata-rata adalah  dan simpangan bakunya , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa

 dan

Untuk N cukup besar dibandingkan  dengan n(ukuran sampel tidak melebihi 5% ukuran populasi, yaitu n/N  5%) atau populasi memiliki ukuran tak hingga, kita dapat gunakan rumus

 dan

4.      Untuk menghitung selisih dua rata-rata, diberi simbol  dan menghitung simpangan bakunya,diberi simbol Untuk dan yang cukup besar dan sampel-sampel acak diambil secara bebas satu sama lain, di dapat hubungan:

            Selanjutnya, untuk ukuran sampel cukup besar

 Maka selisih rata-rata  -  akan mendekati  distribusi normal dengan rata-rata  , dan  simpangan baku  Untuk memuat  distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku digunakan transformasi

B.       Saran

Penulis mengharapkan agar makalah ini dapat digunakan untuk menunjang pembelajaran Mata Kuliah Statistika Matematika pada khususnya dan pembelajaran matematika pada umumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Usman, husaini. Akbar, purnama setiady. 1995. Pengantar statistika. Bumi aksara: Jakarta

Tiro, M. Arif. Sukarna. Aswi . 2009. Pengantar Teori Peluang.Andira Publiser: Makassar.

Tiro, M. Arif. 2005. Dasar-Dasar Statistika .Andira Publiser: Makassar